domingo, 21 de diciembre de 2014

CUARTA ENTRADA: RACIONALIZACIÓN


Racionalización

La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una fracción.
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.

Primer Caso:
Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad:

 $ \displaystyle{ \mbox {Si a }\in I \! \! R \mbox {, }n \in I \! \! N \mbox {, }n \geq 2 \mbox { y }\sqrt[n]{a} \in I \! \! R \mbox { entonces }\sqrt[n]{a^{n}}} $ = a
Ejemplo 
En cada una de las siguientes expresiones, racionalice el denominador y simplifique el resultado.

 $ \displaystyle{ \mbox{a) }{5 \over {\sqrt{10}}} \hspace {4cm} \mbox{b) }{15 \over {\sqrt[5]{3^{2}}}} \hspace {4cm} \mbox{c) }{-3 \over {2\sqrt[3]{6^{4}}}}} $
$ \displaystyle{ \mbox{d) }{{x^{2}-4} \over {\sqrt{x-2}}} \hspace {3.55cm} \mbox... ...hspace {3.79cm} \mbox{f) }{{{3x-1} \over {2\sqrt[5]{\left(3x-1\right)^{2}}}}}} $

 Solución:
$ \displaystyle{ \mbox {a) }{5 \over {\sqrt{10}}}} $
$=$
$ \displaystyle{ 5 \over {\sqrt{10}}} \cdot {{\sqrt{10}} \over {\sqrt{10}}}$
$=$
$ \displaystyle{ {{5 \sqrt{10}} \over {\sqrt{10^{2}}}}} $
$=$
$ \displaystyle{ {{5 \sqrt{10}} \over 10}} $
$=$
$ \displaystyle{ {{\sqrt{10}} \over 2}} $
Por lo que:

\begin{displaymath}\displaystyle{ {5 \over {\sqrt{10}}}={{\sqrt{10}} \over 2}} \end{displaymath}

$ \displaystyle{ \mbox {b) }{15 \over {\sqrt[5]{3^{2}}}}} $$=$$ \displaystyle{ {15 \over {\sqrt[5]{3^{2}}}}\cdot {{\sqrt[5]{3^{3}}} \over {\sqrt[5]{3^{3}}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{15 \sqrt[5]{3^{3}}} \over {\sqrt[5]{3^{5}}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{15 \sqrt[5]{3^{3}}} \over 3}} $
$=$$ \displaystyle{ 5 \sqrt[5]{3^{3}}} $
Por lo que:
\begin{displaymath}\displaystyle{ {15 \over {\sqrt[5]{3^{2}}}}=5 \sqrt[5]{3^{3}}} \end{displaymath}

$ \displaystyle{ \mbox {c) }{-3 \over {2\sqrt[3]{6^{4}}}}} $$=$$ \displaystyle{ {-3 \over {2\sqrt[3]{6^{3}\cdot 6}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {-3 \over {2\cdot 6\sqrt[3]{6}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {-3 \over {12\sqrt[3]{6}}}\cdot {{\sqrt[3]{6^{2}}} \over {\sqrt[3]{6^{2}}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{-3\sqrt[3]{6^{2}}} \over {12\sqrt[3]{6^{3}}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{-3\sqrt[3]{6^{2}}} \over {12\mbox { }6}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{-\sqrt[3]{6^{2}}} \over {24}}} $
Por lo que:
\begin{displaymath}\displaystyle{ {-3 \over {2\sqrt[3]{6^{4}}}}={{-\sqrt[3]{6^{2}}} \over {24}}} \end{displaymath}

$ \displaystyle{ \mbox {d) }{{x^{2}-4} \over {\sqrt{x-2}}}} $$=$$ \displaystyle{ {{x^{2}-4} \over {\sqrt{x-2}}}\cdot {{\sqrt{x-2}} \over {\sqrt{x-2}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(x^{2}-4\right)\sqrt{x-2}} \over {\sqrt{\left({x-2}\right)^{2}}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\sqrt{x-2}} \over {x-2}}} $
$=$$ \displaystyle{ \left(x+2\right)\sqrt{x-2}} $
Por lo que:
\begin{displaymath}\displaystyle{ {{x^{2}-4} \over {\sqrt{x-2}}}=\left(x+2\right)\sqrt{x-2}} \end{displaymath}
Segundo Caso:
Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad: 
$ \displaystyle{ \mbox {Si }a\in I \! \! R\mbox {, }b \in I \! \! R\mbox {, entonces se cumple que:}\,\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-{b}^{2}} $


Ejemplo 
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado.

a)$\displaystyle{\frac{-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$c)$\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}}$e)$\displaystyle{\frac{3}{2+\sqrt{10}}}$
b)$\displaystyle{\frac{7+4x}{2\sqrt{x+2}-1}}$d)$\displaystyle{\frac{9y-4x^{2}}{2x+3\sqrt{y}}}$f)$\displaystyle{\frac{3}{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}}$

Solución:
$ \displaystyle{ \mbox{a) }{-1 \over {\sqrt{2}+\sqrt{3}}}} $$=$$ \displaystyle{ {-1 \over {\sqrt{2}+\sqrt{3}}}\cdot{{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \over {\sqrt{2}-\sqrt{3}}} } $
$=$$ \displaystyle{ {{-1\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)} \over {\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{-1\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)} \over {\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{-1\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)} \over {2-3}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{-1\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)} \over {-1}}} $
$=$$ \displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{3}} $


Por lo que:

$ \displaystyle{ {-1 \over {\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=\sqrt{2}-\sqrt{3}} $
$ \displaystyle{ \mbox{b) }{2 \over {\sqrt{7}-\sqrt{5}}}} $$=$$ \displaystyle{ {2 \over {\sqrt{7}-\sqrt{5}}}\cdot {{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \over {\sqrt{7}+\sqrt{5}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right) \over {\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}}} $
$=$$ \displaystyle{ {2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right) \over {\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right) \over {7-5}}} $
$=$$ \displaystyle{ {2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right) \over {2}}} $
$=$$ \displaystyle{ \sqrt{7}+\sqrt{5}} $


Por lo que:

$ \displaystyle{ {2 \over {\sqrt{7}-\sqrt{5}}}=\sqrt{7}+\sqrt{5}} $

$ \displaystyle{ \mbox {c) }{3 \over {2+\sqrt{10}}}} $$=$$ \displaystyle{ {3 \over {2+\sqrt{10}}}\cdot {{2-\sqrt{10}} \over {2-\sqrt{10}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(2-\sqrt{10}\right) \over {\left(2+\sqrt{10}\right)\left(2-\sqrt{10}\right)}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(2-\sqrt{10}\right) \over {\left(2\right)^{2}-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(2-\sqrt{10}\right) \over {4-10}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(2-\sqrt{10}\right) \over {-6}}} $
$=$$ \displaystyle{ {2-\sqrt{10} \over -2}} $


Por lo que:

$ \displaystyle{ {3 \over {2+\sqrt{10}}}={2-\sqrt{10} \over -2}} $
$ \displaystyle{ \mbox {d) }{{7+4x} \over {2\sqrt{x+2}-1}}} $$=$$ \displaystyle{ {{7+4x} \over {2\sqrt{x+2}-1}}\cdot {{2\sqrt{x+2}+1} \over {2\sqrt{x+2}+1}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(7+4x\right)\left(2\sqrt{x+2}+1\right)} \over {\left(2\sqrt{x+2}-1\right)\left(2\sqrt{x+2}+1\right)}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(7+4x\right)\left(2\sqrt{x+2}+1\right)} \over {\left(2\sqrt{x+2}\right)^{2}-\left(1\right)^{2}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(7+4x\right)\left(2\sqrt{x+2}+1\right)} \over {4\left(x+2\right)-1}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(7+4x\right)\left(2\sqrt{x+2}+1\right)} \over {4x+8-1}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(7+4x\right)\left(2\sqrt{x+2}+1\right)} \over {4x+7}}} $
$=$$ \displaystyle{ 2\sqrt{x+2}+1} $


Por lo que:

$ \displaystyle{ {{7+4x} \over {2\sqrt{x+2}-1}}=2\sqrt{x+2}+1} $

$ \displaystyle{ \mbox {e) }{{9y-4{x}^{2}} \over {2x+3\sqrt{y}}}} $$=$$ \displaystyle{ {{9y-4{x}^{2}} \over {2x+3\sqrt{y}}}\cdot {{2x-3\sqrt{y}} \over {2x-3\sqrt{y}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(9y-4{x}^{2}\right)\left(2x-3\sqrt{y}\right)} \over {\left(2x+3\sqrt{y}\right)\left(2x-3\sqrt{y}\right)}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(9y-4{x}^{2}\right)\left(2x-3\sqrt{y}\right)} \over {\left(2x\right)^{2}-\left(3\sqrt{y}\right)^{2}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{\left(9y-4{x}^{2}\right)\left(2x-3\sqrt{y}\right)} \over {4{x}^{2}-9y}}} $
$=$$ \displaystyle{ {{-\left(4{x}^{2}-9y\right)\left(2x-3\sqrt{y}\right)} \over {4{x}^{2}-9y}}} $
$=$$-(2x-3\sqrt{y})$

Por lo que:

$ \displaystyle{ {{9y-4{x}^{2}} \over {2x+3\sqrt{y}}}={-\left(2x-3\sqrt{y}\right)}} $

$ \displaystyle{ \mbox {f) }{3 \over {\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}}} $$=$$ \displaystyle{ {3 \over {\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}}\cdot {{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \over {\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) \over {\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) \over {\left(\sqrt{x}\right)^{2}-\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) \over {x-\left(x+1\right)}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) \over {x-x-1}}} $
$=$$ \displaystyle{ {3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) \over -1}} $
$=$$ \displaystyle{ -3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)} $


Por lo que:

$ \displaystyle{ {3 \over {\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}}={-3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}} $ 
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