OCTAVA ENTRADA: DESIGUALDADES E INECUACIONES

Desigualdades e Inecuaciones

Desigualdades:

Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.

Ejemplos.

       · Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.

       · Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1

       · Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30

       · Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30

En los diferentes ejemplos se observa que:

        · al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la                  misma se mantiene

        · al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la                  misma se mantiene

        · la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,

        · la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera:

       

        · Si a < b entonces a + c < b + c

       · Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c

        · Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c

Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.

Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .

SÉPTIMA ENTRADA: ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

Ecuaciones Lineales con tres  Incógnita

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2        y = 6

x + 6 − 1 = 1          x = −4

SEXTA ENTRADA: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuaciones Lineales con dos Incógnita

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:

Ax + By = C

; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales.

Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormente estudiadas.

Ejemplo #01

3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo siguiente:

Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a  (0) y la sustituimos en la ecuación  y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0

3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos

3X = 3              ahora dividimos ambos miembros entre 3

3X / 3 = 3 / 3
X  = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando:

3(1) + 6Y = 3 
3 + 6Y = 3
-3 + 3 + 6Y = 3 - 3  Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos:

6Y = 0    Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal manera que
 Y = 0/ 6
 Y = 0      y asi hallamos en valor de Y.

QUINTA ENTRADA: ECUACIONES

Ecuaciones Lineales con un Incógnita

La ecuacion lineal con una incógnita se reconoce fácilmente debido a que tienen una sola variable o valor por ser hallado acompañado de un exponencial, que en este caso corresponde al número uno (1). 

El desarrollo de estas ecuaciones se hacen siempre de izquierda a derecha comenzando siempre por despejar las operaciones requeridas que se hallan dentro de los paréntesis () y de los corchetes []  para que después sean eliminados de la ecuación. 

Al realizar esto se puede recurrir a dos métodos o técnicas: La transposición o la simplificación de los términos. 

En la ecuación con una incógnita la transposición consiste en agrupar  o dividir los elementos, en este caso las variables se agrupan u organizan siempre al lado izquierdo y los números al lado derecho respectivamente. 

La otra técnica es la de simplificación que consiste en realizar las operaciones entre iguales sea de suma o resta sin necesidad de agrupar.   ¿Cómo resolver una ecuacion lineal con una incógnita? Ya mencionamos por dónde empezar y los métodos de cómo lograrlo, ahora para que se entienda mejor lo explicado, tomaremos un ejemplo y despejaremos todas y cada una de las dudas que hayan surgido en el apartado anterior.

Ejemplo: 

8Y-2[-3(Y+2)-(1-Y)]=-4Y-[-(Y+4)-(1+Y)] 

El ejemplo corresponde perfecto en la descripción de las ecuaciones lineales con una sola incógnita. Observen lo dicho anteriormente y comparen, ¿tiene esta ecuación una sola variable? ¿Tiene un solo exponente? La respuesta es sí. La única variable para ser encontrado su valor es Y. Su exponente también es uno solo el número uno (1). Quizás se pregunten de dónde saqué el número uno (1) como exponente, bueno si la variable no tiene número este exponente corresponde a uno (1). 

Ejemplo 2: 

8Y-2[-3(Y+2)-(1-Y)]=-4Y-[-(Y+4)-(1+Y)] 

8Y-2[-3Y-6-1+Y]=-4Y-[-Y-4-1-Y] 

Mencionamos que las ecuaciones se desarrollan de izquierda a derecha, comenzamos por el 8Y  realizando la operación necesaria para eliminar el paréntesis. ¿Cómo eliminamos el paréntesis? Fácil, el número, la variable o el signo ya sea positivo o negativo (+/-) multiplica todo lo que se encuentre dentro del paréntesis. De esta forma en el  ejemplo ya no se encuentran dentro de la variable y quedó solamente con los corchetes. 

Ejemplo 3:   

8Y-2[-3Y-6-1+Y]=-4Y-[-Y-4-1-Y] 

8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5 

La ecuación se encuentra ahora libre de paréntesis y de corchetes. ¿Cómo elimino los corchetes? Fácil, los corchetes se eliminan de la misma forma que los paréntesis salvo que primero deben realizar las operaciones de suma o resta dentro de ellos. Después de hacerlo se multiplica el elemento que se encuentre por fuera de los corchetes y de esta forma se eliminan. 

Ejemplo 4: 

8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5 

Teniendo la ecuación de esta forma pueden elegir entre realizar la transposición, es decir la agrupación de los elementos o la de simplificar. 

8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5 

16Y=5-14 

16Y=-9 Y=-9/16 

En este caso se realizó por simplificación.

Ecuación Algebraica Simple

Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que nos permitirá descubrir el valor desconocido o incógnita de un problema.

Veamos el siguiente ejemplo:

Un padre tiene 48 años. Si la edad del hijo es la tercera parte de la edad de su padre ¿qué edad tiene el hijo?

Para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:

1) Definir la incógnita:

En nuestro ejemplo Y es la edad del hijo.

2) Plantear la ecuación de acuerdo a los datos que se nos dan:



3) Resolución de la ecuación:



El hijo tiene 16 años.

4) Validemos el resultado mediante la sustitución de la incógnita reemplazando Y por 16:




Para resolver una ecuación debemos despejar la incógnita, es decir, dejarla en un lado de la ecuación y lo demás, en el otro lado de la ecuación.

Además, dado que una ecuación es una igualdad, si a ambos lados de ésta sumamos o restamos un mismo número o multiplicamos o dividimos por un mismo valor ambas expresiones algebraicas, el resultado será el mismo.

Esto equivale a lo siguiente:

Si un valor se está sumando en un lado de la ecuación, lo pasaremos restando al otro lado; si se está restando lo pasaremos sumando; si se está multiplicando lo pasaremos dividiendo y si se está dividiendo lo pasaremos multiplicando:



Veamos un segundo ejemplo:
Dos números consecutivos suman 29. ¿Cuáles son los números?

1) Definamos la incógnita: X es el primer número
                                                 X + 1 es el sucesor de X, el segundo número

2 ) Planteemos la ecuación: X + X + 1 = 29

3) Resolvamos la ecuación: X + X + 1 = 29
       X + X = 28    Pasamos restando el 1 al lado derecho de la ecuación
          2 X = 28    Sumamos las dos X
             X = 14    Dividimos por 2 al lado derecho de la ecuación, ya que, el 2 está multiplicando al lado
                            izquierdo

Si X = 14, X + 1 = 15

4) Validemos el resultado: X + X + 1 = 29
  14 + 15 = 29
           29 = 29

Veamos un tercer ejemplo:

Tenemos dos cuerdas. La primera mide el triple de la segunda aumentada en dos. Si la suma de la medida de ambas cuerdas es 50 centímetros, ¿cuánto mide cada cuerda?

Primero definamos la incógnita: Z es la medida de la segunda cuerda
                                                           (3 x Z) + 2 es la medida de la primera cuerda cuerda

Planteemos la ecuación: Z + (3 x Z) + 2 = 50

Resolvamos la ecuación:
El 2 que se está sumando pasémoslo como resta hacia el lado izquierdo.

Z + (3 Z) = 48

Luego si sumamos quedará: 4 Z = 48 

Ahora, dado que 4 está multiplicando a Z, pásemoslo dividiendo hacia el otro lado para despejar la incógnita.

Z = 12

12 es la medida de la cuerda pequeña y (3 x 12) + 2 = 38 la medida de la segunda.

Validemos el resultado: Z + (3 x Z) + 2 = 50
                                        12 + (3 x 12) + 2 = 50
                                                 12 + 36 + 2 = 50
                                                                 50 = 50

Veamos ahora una ecuación con fracciones:
Si 

Resolvamos la ecuación:

Primero, despejemos la incógnita:



Busquemos ahora un denominador común para poder sumar:



Despejemos la incógnita y resolvamos:



Validemos el resultado:

Ecuación Cuadraticas Factorizando

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.

 
Ejemplo:
9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x²  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10

 
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática 

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. 

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8
 
(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²]
 

( x +   )   (x  -   ) = 0

 
(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8



 
x + 4 = 0       x – 2 = 0


 
x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones. 

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. 
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

 

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

 
x² + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.
 
Ejemplo:
x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]


 

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x²  + 2x + 1 = 9
(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.
                                 Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.


 

( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

 
x + 1 =  ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4