Ecuaciones Lineales con un Incógnita
La ecuacion lineal con una incógnita se reconoce fácilmente debido a que tienen una sola variable o valor por ser hallado acompañado de un exponencial, que en este caso corresponde al número uno (1).
El desarrollo de estas ecuaciones se hacen siempre de izquierda a derecha comenzando siempre por despejar las operaciones requeridas que se hallan dentro de los paréntesis () y de los corchetes [] para que después sean eliminados de la ecuación.
Al realizar esto se puede recurrir a dos métodos o técnicas: La transposición o la simplificación de los términos.
En la ecuación con una incógnita la transposición consiste en agrupar o dividir los elementos, en este caso las variables se agrupan u organizan siempre al lado izquierdo y los números al lado derecho respectivamente.
La otra técnica es la de simplificación que consiste en realizar las operaciones entre iguales sea de suma o resta sin necesidad de agrupar. ¿Cómo resolver una ecuacion lineal con una incógnita? Ya mencionamos por dónde empezar y los métodos de cómo lograrlo, ahora para que se entienda mejor lo explicado, tomaremos un ejemplo y despejaremos todas y cada una de las dudas que hayan surgido en el apartado anterior.
Ejemplo:
8Y-2[-3(Y+2)-(1-Y)]=-4Y-[-(Y+4)-(1+Y)]
El ejemplo corresponde perfecto en la descripción de las ecuaciones lineales con una sola incógnita. Observen lo dicho anteriormente y comparen, ¿tiene esta ecuación una sola variable? ¿Tiene un solo exponente? La respuesta es sí. La única variable para ser encontrado su valor es Y. Su exponente también es uno solo el número uno (1). Quizás se pregunten de dónde saqué el número uno (1) como exponente, bueno si la variable no tiene número este exponente corresponde a uno (1).
Ejemplo 2:
8Y-2[-3(Y+2)-(1-Y)]=-4Y-[-(Y+4)-(1+Y)]
8Y-2[-3Y-6-1+Y]=-4Y-[-Y-4-1-Y]
Mencionamos que las ecuaciones se desarrollan de izquierda a derecha, comenzamos por el 8Y realizando la operación necesaria para eliminar el paréntesis. ¿Cómo eliminamos el paréntesis? Fácil, el número, la variable o el signo ya sea positivo o negativo (+/-) multiplica todo lo que se encuentre dentro del paréntesis. De esta forma en el ejemplo ya no se encuentran dentro de la variable y quedó solamente con los corchetes.
Ejemplo 3:
8Y-2[-3Y-6-1+Y]=-4Y-[-Y-4-1-Y]
8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5
La ecuación se encuentra ahora libre de paréntesis y de corchetes. ¿Cómo elimino los corchetes? Fácil, los corchetes se eliminan de la misma forma que los paréntesis salvo que primero deben realizar las operaciones de suma o resta dentro de ellos. Después de hacerlo se multiplica el elemento que se encuentre por fuera de los corchetes y de esta forma se eliminan.
Ejemplo 4:
8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5
Teniendo la ecuación de esta forma pueden elegir entre realizar la transposición, es decir la agrupación de los elementos o la de simplificar.
8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5
16Y=5-14
16Y=-9 Y=-9/16
En este caso se realizó por simplificación.
Ecuación Algebraica Simple
Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que nos permitirá descubrir el valor desconocido o incógnita de un problema.
Veamos el siguiente ejemplo:
Un padre tiene 48 años. Si la edad del hijo es la tercera parte de la edad de su padre ¿qué edad tiene el hijo?
Para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:
1) Definir la incógnita:
En nuestro ejemplo Y es la edad del hijo.
2) Plantear la ecuación de acuerdo a los datos que se nos dan:
3) Resolución de la ecuación:
El hijo tiene 16 años.
4) Validemos el resultado mediante la sustitución de la incógnita reemplazando Y por 16:
Para resolver una ecuación debemos despejar la incógnita, es decir, dejarla en un lado de la ecuación y lo demás, en el otro lado de la ecuación.
Además, dado que una ecuación es una igualdad, si a ambos lados de ésta sumamos o restamos un mismo número o multiplicamos o dividimos por un mismo valor ambas expresiones algebraicas, el resultado será el mismo.
Esto equivale a lo siguiente:
Si un valor se está sumando en un lado de la ecuación, lo pasaremos restando al otro lado; si se está restando lo pasaremos sumando; si se está multiplicando lo pasaremos dividiendo y si se está dividiendo lo pasaremos multiplicando:
Veamos un segundo ejemplo:
Dos números consecutivos suman 29. ¿Cuáles son los números?
1) Definamos la incógnita: X es el primer número
X + 1 es el sucesor de X, el segundo número
2 ) Planteemos la ecuación: X + X + 1 = 29
3) Resolvamos la ecuación: X + X + 1 = 29
X + X = 28 Pasamos restando el 1 al lado derecho de la ecuación
2 X = 28 Sumamos las dos X
X = 14 Dividimos por 2 al lado derecho de la ecuación, ya que, el 2 está multiplicando al lado
izquierdo
Si X = 14, X + 1 = 15
4) Validemos el resultado: X + X + 1 = 29
14 + 15 = 29
29 = 29
Veamos un tercer ejemplo:
Tenemos dos cuerdas. La primera mide el triple de la segunda aumentada en dos. Si la suma de la medida de ambas cuerdas es 50 centímetros, ¿cuánto mide cada cuerda?
Primero definamos la incógnita: Z es la medida de la segunda cuerda
(3 x Z) + 2 es la medida de la primera cuerda cuerda
Planteemos la ecuación: Z + (3 x Z) + 2 = 50
Resolvamos la ecuación:
El 2 que se está sumando pasémoslo como resta hacia el lado izquierdo.
Z + (3 Z) = 48
Luego si sumamos quedará: 4 Z = 48
Ahora, dado que 4 está multiplicando a Z, pásemoslo dividiendo hacia el otro lado para despejar la incógnita.
Z = 12
12 es la medida de la cuerda pequeña y (3 x 12) + 2 = 38 la medida de la segunda.
Validemos el resultado: Z + (3 x Z) + 2 = 50
12 + (3 x 12) + 2 = 50
12 + 36 + 2 = 50
50 = 50
Veamos ahora una ecuación con fracciones:
Si
Resolvamos la ecuación:
Primero, despejemos la incógnita:
Busquemos ahora un denominador común para poder sumar:
Despejemos la incógnita y resolvamos:
Validemos el resultado:
Veamos el siguiente ejemplo:
Un padre tiene 48 años. Si la edad del hijo es la tercera parte de la edad de su padre ¿qué edad tiene el hijo?
Para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:
1) Definir la incógnita:
En nuestro ejemplo Y es la edad del hijo.
2) Plantear la ecuación de acuerdo a los datos que se nos dan:
3) Resolución de la ecuación:
El hijo tiene 16 años.
4) Validemos el resultado mediante la sustitución de la incógnita reemplazando Y por 16:
Para resolver una ecuación debemos despejar la incógnita, es decir, dejarla en un lado de la ecuación y lo demás, en el otro lado de la ecuación.
Además, dado que una ecuación es una igualdad, si a ambos lados de ésta sumamos o restamos un mismo número o multiplicamos o dividimos por un mismo valor ambas expresiones algebraicas, el resultado será el mismo.
Esto equivale a lo siguiente:
Si un valor se está sumando en un lado de la ecuación, lo pasaremos restando al otro lado; si se está restando lo pasaremos sumando; si se está multiplicando lo pasaremos dividiendo y si se está dividiendo lo pasaremos multiplicando:
Veamos un segundo ejemplo:
Dos números consecutivos suman 29. ¿Cuáles son los números?
1) Definamos la incógnita: X es el primer número
X + 1 es el sucesor de X, el segundo número
2 ) Planteemos la ecuación: X + X + 1 = 29
3) Resolvamos la ecuación: X + X + 1 = 29
X + X = 28 Pasamos restando el 1 al lado derecho de la ecuación
2 X = 28 Sumamos las dos X
X = 14 Dividimos por 2 al lado derecho de la ecuación, ya que, el 2 está multiplicando al lado
izquierdo
Si X = 14, X + 1 = 15
4) Validemos el resultado: X + X + 1 = 29
14 + 15 = 29
29 = 29
Veamos un tercer ejemplo:
Tenemos dos cuerdas. La primera mide el triple de la segunda aumentada en dos. Si la suma de la medida de ambas cuerdas es 50 centímetros, ¿cuánto mide cada cuerda?
Primero definamos la incógnita: Z es la medida de la segunda cuerda
(3 x Z) + 2 es la medida de la primera cuerda cuerda
Planteemos la ecuación: Z + (3 x Z) + 2 = 50
Resolvamos la ecuación:
El 2 que se está sumando pasémoslo como resta hacia el lado izquierdo.
Z + (3 Z) = 48
Luego si sumamos quedará: 4 Z = 48
Ahora, dado que 4 está multiplicando a Z, pásemoslo dividiendo hacia el otro lado para despejar la incógnita.
Z = 12
12 es la medida de la cuerda pequeña y (3 x 12) + 2 = 38 la medida de la segunda.
Validemos el resultado: Z + (3 x Z) + 2 = 50
12 + (3 x 12) + 2 = 50
12 + 36 + 2 = 50
50 = 50
Veamos ahora una ecuación con fracciones:
Si
Resolvamos la ecuación:
Primero, despejemos la incógnita:
Busquemos ahora un denominador común para poder sumar:
Despejemos la incógnita y resolvamos:
Validemos el resultado:
Ecuación Cuadraticas Factorizando
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]
| ( x + ) (x - ) = 0 |  |
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 |  |
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
| x2 + 2x + 1 = 8 + 1 |  |
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
| ( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±  |  |
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6 x = -2 - 6
2 2
x = 4 x = -8
2 2
x = 2 x = - 4
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