DOCEAVA ENTRADA: GRAFICAS DE FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

Función Cuadrática (Parábola)

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

 

Ejemplos:

Hipérbola

La hipérbola es aquella curva plana y simétrica respecto de dos planos perpendiculares entre sí, mientras que la distancia en relación a dos puntos o focos resulta constante.

Ejemplos:

Elisep o Circuferencia

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse A A' y la mediatriz de los mismos eje secundario P P'.

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes A ,A',B,B'

El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal .

Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal , respectivamente.

Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llama centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.

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Ejemplos:

ONCEAVA ENTRADA: SEGMENTACIÓN EN LA RECTA

Segmentación en la Recta

Recta: es una línea continua que esta formada por infinitos puntos en la misma dirección, la recta no tiene inicio ni fin

Semirrecta: es parte de una recta. En una recta si ubicamos un punto, esta delimitara dos semirrectas
se caracteriza por que tiene un inicio pero no un final.

Segmento de recta: si tomamos 2 puntos en una recta (T y S), el segmento de recta sera el conjunto de puntos comprendidos entre T y S.
.

se caracteriza por que :
Es una porción o parte de una recta.
es la menor distancia posible entre dos puntos.
y por que tiene un principio y un final, por ende es susceptible de ser medido.

Segmentos consecutivos colineales: son los que tienen un extremo en común, y si pertenecen a la misma recta

Segmentos consecutivos no colineales: son los que tienen un extremo en común, pero, no pertenecen a la misma recta. (un ejemplo se puede ver en estos vectores)
.
.
Propiedad de la suma de segmentos: cumple con la propiedad asociativa y conmutativa.

Suma de Segmentos: para sumar dos o más segmentos hay que llevar sobre una recta y unirlos por un extremo. El resultado de la suma es la longitud que se obtenga.

Diferencia de segmentos: Para restar dos segmentos hay que superponerla para que coincidan en un extremo. La parte que sobra del mayor segmento es el resultado.

Mediatriz de un segmento: Es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio y lo divide en dos partes iguales.

Segmentos Concatenados: Son segmentos que tienen un punto en común, pero pertenecen a distintas rectas.

Ejemplos:

DÉCIMA ENTRADA: RESOLUCIÓN DE GRÁFICAS SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Resolución de Gráficas Sistema de Ecuaciones con dos Incógnitas

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. 

Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. 

Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2. 
   Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible

Ejemplos:

NOVENA ENTRADA :GRÁFICAS DE FUNCIONES

Gráficas de Funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

Gráficas de Funciones Lieneales de Primer Grado

Con función lineal nos referimos a una función cuya gráfica es una línea recta cuando la dibujas en un diagrama cartesiano. Son siempre funciones del tipo Y=(polinomio de primer grado), es decir, y=ax+b

o más usado:

y=mx+n

También se le llama "función afín".

n es la ordenada en el origen, que es el punto en el la fución corta al eje y, o eje de ordenadas.

Cuando n vale cero, entonces la gráfica pasa por el origen de coordenadas (el punto de cruce del eje X y el Y) y la función ercib el nombre de "función proporcionalidad", pues todas las proporcionalidad directas (recordad lo de "directamente proporcional") pueden ser expresadas como una función del tipo y=mx

Ejemplos:

OCTAVA ENTRADA: DESIGUALDADES E INECUACIONES

Desigualdades e Inecuaciones

Desigualdades:

Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.

Ejemplos.

       · Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.

       · Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1

       · Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30

       · Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30

En los diferentes ejemplos se observa que:

        · al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la                  misma se mantiene

        · al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la                  misma se mantiene

        · la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,

        · la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera:

       

        · Si a < b entonces a + c < b + c

       · Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c

        · Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c

Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.

Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .

SÉPTIMA ENTRADA: ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

Ecuaciones Lineales con tres  Incógnita

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2        y = 6

x + 6 − 1 = 1          x = −4

SEXTA ENTRADA: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuaciones Lineales con dos Incógnita

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:

Ax + By = C

; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales.

Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormente estudiadas.

Ejemplo #01

3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo siguiente:

Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a  (0) y la sustituimos en la ecuación  y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0

3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos

3X = 3              ahora dividimos ambos miembros entre 3

3X / 3 = 3 / 3
X  = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando:

3(1) + 6Y = 3 
3 + 6Y = 3
-3 + 3 + 6Y = 3 - 3  Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos:

6Y = 0    Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal manera que
 Y = 0/ 6
 Y = 0      y asi hallamos en valor de Y.