DOCEAVA ENTRADA: GRAFICAS DE FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

Función Cuadrática (Parábola)

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

 

Ejemplos:

Hipérbola

La hipérbola es aquella curva plana y simétrica respecto de dos planos perpendiculares entre sí, mientras que la distancia en relación a dos puntos o focos resulta constante.

Ejemplos:

Elisep o Circuferencia

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse A A' y la mediatriz de los mismos eje secundario P P'.

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes A ,A',B,B'

El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal .

Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal , respectivamente.

Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llama centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.

do

Ejemplos:

ONCEAVA ENTRADA: SEGMENTACIÓN EN LA RECTA

Segmentación en la Recta

Recta: es una línea continua que esta formada por infinitos puntos en la misma dirección, la recta no tiene inicio ni fin

Semirrecta: es parte de una recta. En una recta si ubicamos un punto, esta delimitara dos semirrectas
se caracteriza por que tiene un inicio pero no un final.

Segmento de recta: si tomamos 2 puntos en una recta (T y S), el segmento de recta sera el conjunto de puntos comprendidos entre T y S.
.

se caracteriza por que :
Es una porción o parte de una recta.
es la menor distancia posible entre dos puntos.
y por que tiene un principio y un final, por ende es susceptible de ser medido.

Segmentos consecutivos colineales: son los que tienen un extremo en común, y si pertenecen a la misma recta

Segmentos consecutivos no colineales: son los que tienen un extremo en común, pero, no pertenecen a la misma recta. (un ejemplo se puede ver en estos vectores)
.
.
Propiedad de la suma de segmentos: cumple con la propiedad asociativa y conmutativa.

Suma de Segmentos: para sumar dos o más segmentos hay que llevar sobre una recta y unirlos por un extremo. El resultado de la suma es la longitud que se obtenga.

Diferencia de segmentos: Para restar dos segmentos hay que superponerla para que coincidan en un extremo. La parte que sobra del mayor segmento es el resultado.

Mediatriz de un segmento: Es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio y lo divide en dos partes iguales.

Segmentos Concatenados: Son segmentos que tienen un punto en común, pero pertenecen a distintas rectas.

Ejemplos:

DÉCIMA ENTRADA: RESOLUCIÓN DE GRÁFICAS SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Resolución de Gráficas Sistema de Ecuaciones con dos Incógnitas

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. 

Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. 

Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2. 
   Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible

Ejemplos:

NOVENA ENTRADA :GRÁFICAS DE FUNCIONES

Gráficas de Funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

Gráficas de Funciones Lieneales de Primer Grado

Con función lineal nos referimos a una función cuya gráfica es una línea recta cuando la dibujas en un diagrama cartesiano. Son siempre funciones del tipo Y=(polinomio de primer grado), es decir, y=ax+b

o más usado:

y=mx+n

También se le llama "función afín".

n es la ordenada en el origen, que es el punto en el la fución corta al eje y, o eje de ordenadas.

Cuando n vale cero, entonces la gráfica pasa por el origen de coordenadas (el punto de cruce del eje X y el Y) y la función ercib el nombre de "función proporcionalidad", pues todas las proporcionalidad directas (recordad lo de "directamente proporcional") pueden ser expresadas como una función del tipo y=mx

Ejemplos:

OCTAVA ENTRADA: DESIGUALDADES E INECUACIONES

Desigualdades e Inecuaciones

Desigualdades:

Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.

Ejemplos.

       · Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.

       · Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1

       · Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30

       · Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30

En los diferentes ejemplos se observa que:

        · al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la                  misma se mantiene

        · al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la                  misma se mantiene

        · la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,

        · la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera:

       

        · Si a < b entonces a + c < b + c

       · Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c

        · Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c

Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.

Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .

SÉPTIMA ENTRADA: ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

Ecuaciones Lineales con tres  Incógnita

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2        y = 6

x + 6 − 1 = 1          x = −4

SEXTA ENTRADA: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuaciones Lineales con dos Incógnita

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:

Ax + By = C

; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales.

Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormente estudiadas.

Ejemplo #01

3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo siguiente:

Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a  (0) y la sustituimos en la ecuación  y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0

3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos

3X = 3              ahora dividimos ambos miembros entre 3

3X / 3 = 3 / 3
X  = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando:

3(1) + 6Y = 3 
3 + 6Y = 3
-3 + 3 + 6Y = 3 - 3  Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos:

6Y = 0    Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal manera que
 Y = 0/ 6
 Y = 0      y asi hallamos en valor de Y.

QUINTA ENTRADA: ECUACIONES

Ecuaciones Lineales con un Incógnita

La ecuacion lineal con una incógnita se reconoce fácilmente debido a que tienen una sola variable o valor por ser hallado acompañado de un exponencial, que en este caso corresponde al número uno (1). 

El desarrollo de estas ecuaciones se hacen siempre de izquierda a derecha comenzando siempre por despejar las operaciones requeridas que se hallan dentro de los paréntesis () y de los corchetes []  para que después sean eliminados de la ecuación. 

Al realizar esto se puede recurrir a dos métodos o técnicas: La transposición o la simplificación de los términos. 

En la ecuación con una incógnita la transposición consiste en agrupar  o dividir los elementos, en este caso las variables se agrupan u organizan siempre al lado izquierdo y los números al lado derecho respectivamente. 

La otra técnica es la de simplificación que consiste en realizar las operaciones entre iguales sea de suma o resta sin necesidad de agrupar.   ¿Cómo resolver una ecuacion lineal con una incógnita? Ya mencionamos por dónde empezar y los métodos de cómo lograrlo, ahora para que se entienda mejor lo explicado, tomaremos un ejemplo y despejaremos todas y cada una de las dudas que hayan surgido en el apartado anterior.

Ejemplo: 

8Y-2[-3(Y+2)-(1-Y)]=-4Y-[-(Y+4)-(1+Y)] 

El ejemplo corresponde perfecto en la descripción de las ecuaciones lineales con una sola incógnita. Observen lo dicho anteriormente y comparen, ¿tiene esta ecuación una sola variable? ¿Tiene un solo exponente? La respuesta es sí. La única variable para ser encontrado su valor es Y. Su exponente también es uno solo el número uno (1). Quizás se pregunten de dónde saqué el número uno (1) como exponente, bueno si la variable no tiene número este exponente corresponde a uno (1). 

Ejemplo 2: 

8Y-2[-3(Y+2)-(1-Y)]=-4Y-[-(Y+4)-(1+Y)] 

8Y-2[-3Y-6-1+Y]=-4Y-[-Y-4-1-Y] 

Mencionamos que las ecuaciones se desarrollan de izquierda a derecha, comenzamos por el 8Y  realizando la operación necesaria para eliminar el paréntesis. ¿Cómo eliminamos el paréntesis? Fácil, el número, la variable o el signo ya sea positivo o negativo (+/-) multiplica todo lo que se encuentre dentro del paréntesis. De esta forma en el  ejemplo ya no se encuentran dentro de la variable y quedó solamente con los corchetes. 

Ejemplo 3:   

8Y-2[-3Y-6-1+Y]=-4Y-[-Y-4-1-Y] 

8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5 

La ecuación se encuentra ahora libre de paréntesis y de corchetes. ¿Cómo elimino los corchetes? Fácil, los corchetes se eliminan de la misma forma que los paréntesis salvo que primero deben realizar las operaciones de suma o resta dentro de ellos. Después de hacerlo se multiplica el elemento que se encuentre por fuera de los corchetes y de esta forma se eliminan. 

Ejemplo 4: 

8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5 

Teniendo la ecuación de esta forma pueden elegir entre realizar la transposición, es decir la agrupación de los elementos o la de simplificar. 

8Y+4Y+14=-4Y+2Y+5 

16Y=5-14 

16Y=-9 Y=-9/16 

En este caso se realizó por simplificación.

Ecuación Algebraica Simple

Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que nos permitirá descubrir el valor desconocido o incógnita de un problema.

Veamos el siguiente ejemplo:

Un padre tiene 48 años. Si la edad del hijo es la tercera parte de la edad de su padre ¿qué edad tiene el hijo?

Para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:

1) Definir la incógnita:

En nuestro ejemplo Y es la edad del hijo.

2) Plantear la ecuación de acuerdo a los datos que se nos dan:



3) Resolución de la ecuación:



El hijo tiene 16 años.

4) Validemos el resultado mediante la sustitución de la incógnita reemplazando Y por 16:




Para resolver una ecuación debemos despejar la incógnita, es decir, dejarla en un lado de la ecuación y lo demás, en el otro lado de la ecuación.

Además, dado que una ecuación es una igualdad, si a ambos lados de ésta sumamos o restamos un mismo número o multiplicamos o dividimos por un mismo valor ambas expresiones algebraicas, el resultado será el mismo.

Esto equivale a lo siguiente:

Si un valor se está sumando en un lado de la ecuación, lo pasaremos restando al otro lado; si se está restando lo pasaremos sumando; si se está multiplicando lo pasaremos dividiendo y si se está dividiendo lo pasaremos multiplicando:



Veamos un segundo ejemplo:
Dos números consecutivos suman 29. ¿Cuáles son los números?

1) Definamos la incógnita: X es el primer número
                                                 X + 1 es el sucesor de X, el segundo número

2 ) Planteemos la ecuación: X + X + 1 = 29

3) Resolvamos la ecuación: X + X + 1 = 29
       X + X = 28    Pasamos restando el 1 al lado derecho de la ecuación
          2 X = 28    Sumamos las dos X
             X = 14    Dividimos por 2 al lado derecho de la ecuación, ya que, el 2 está multiplicando al lado
                            izquierdo

Si X = 14, X + 1 = 15

4) Validemos el resultado: X + X + 1 = 29
  14 + 15 = 29
           29 = 29

Veamos un tercer ejemplo:

Tenemos dos cuerdas. La primera mide el triple de la segunda aumentada en dos. Si la suma de la medida de ambas cuerdas es 50 centímetros, ¿cuánto mide cada cuerda?

Primero definamos la incógnita: Z es la medida de la segunda cuerda
                                                           (3 x Z) + 2 es la medida de la primera cuerda cuerda

Planteemos la ecuación: Z + (3 x Z) + 2 = 50

Resolvamos la ecuación:
El 2 que se está sumando pasémoslo como resta hacia el lado izquierdo.

Z + (3 Z) = 48

Luego si sumamos quedará: 4 Z = 48 

Ahora, dado que 4 está multiplicando a Z, pásemoslo dividiendo hacia el otro lado para despejar la incógnita.

Z = 12

12 es la medida de la cuerda pequeña y (3 x 12) + 2 = 38 la medida de la segunda.

Validemos el resultado: Z + (3 x Z) + 2 = 50
                                        12 + (3 x 12) + 2 = 50
                                                 12 + 36 + 2 = 50
                                                                 50 = 50

Veamos ahora una ecuación con fracciones:
Si 

Resolvamos la ecuación:

Primero, despejemos la incógnita:



Busquemos ahora un denominador común para poder sumar:



Despejemos la incógnita y resolvamos:



Validemos el resultado:

Ecuación Cuadraticas Factorizando

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.

 
Ejemplo:
9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x²  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10

 
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática 

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. 

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8
 
(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²]
 

( x +   )   (x  -   ) = 0

 
(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8



 
x + 4 = 0       x – 2 = 0


 
x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones. 

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. 
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

 

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

 
x² + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.
 
Ejemplo:
x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]


 

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x²  + 2x + 1 = 9
(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.
                                 Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.


 

( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

 
x + 1 =  ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4